Vektörlerin Toplanması

Vektörlerin Toplanması

1) Uç uca ekleme yöntemi: Vektörün yönünde, doğrultusunda ve şiddetinde değişklik yapılmadan uç uca eklenerek birleştirilmesi yöntemidir.  Bileşke vektörün başlangıç noktası ilk vektör ve bitiş noktası son vektör olacak şekilde çizilir.

2) Paralelkenar Yöntemi: Vektörler ikişer ikiler toplanır. İki vektörün başlangıç noktaları bir araya getirilir.  Uçları paralelkenara tamamlanır ve bileşke vektör bulunur.

3)Dik bileşenlerine ayırma yöntemi: Vektörler x ve y eksenine göre bileşenlerine ayrılır ve çözüm bulunur.

Birim Vektör: Vektörlerin sadece yönünü belirtmek için kullanılan 1 birimlik boyutsuz vektöre denir. Kartezyen koordinat sisteminde x düzlemini i birim vektörü, y düzlemini j birim vektörü ve z düzlemini k birim vektörü gösterir.

Örnek: a =-2i+3j ise a=?

Çözüm: 

Birim Vektörlerin Toplanması: Aynı birim vektörler kendi aralarında toplanırlar.

Örnek:

a=2i-4j

b=-i+2j

a+b=?

Çözüm:a+b=2i-4j+(-i)+2j=i-2j

Örnek:

a=5i+5j

b=2j-3i

a+b=?

Çözüm:a+b=5i+5j+2j-3i=2i+7j

Birim Vektörlerin Çarpımı

1)Skaler Çarpım: (.) işareti ile çarpılır. Aynı terimlerin çarpımı 1'dir. Farklı terimlerin çarpımı 0'dır.

i.i=1

j.j=1

k.k=1

i.k=0

k.j=0

j.i=0

A=Axi+Ayj+Azk

B=Bxi+Byj+Bzk

A.B=( Axi+Ayj+Azk).( Bxi+Byj+Bzk)

=Axi.Bxi+Axi.Byj+Axi.Bzk+Ayj.Bxi+Ayj.Byj+Ayj.Bzk+Azk.Bxi+Azk.Byj+Azk.Bzk

=Ax.Bx(i.i)+Ax.By(i.j)+Ax.Bz(i.k)+Ay.Bx(j.i)+Ay.By(j.j)+Ay.Bz(j.k)+Az.Bx(k.i)+Az.By(k.j)+Az.Bz(k.k)

=Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz (aynı terimlerin çarpımı yerine 1 farklı terimlerin çarpımı yerine 0 yazınca kalan değer)

Örnek:

A=2i-3j+5k

B=3i+8j-4k

ise A.B=?

Çözüm:

A.B=(2.3)(i.i)+(-3.8)(j.j)+(5.-4)(k.k)

A.B=6-24-20

A.B=-38

Örnek:

A=4i-3k-5j

B=2j-3i-2k

ise A.B=?

Çözüm: Aynı birimleri alt alta yazarız önce.

A=4i-3k-5j

B=-3i-2k+2j

A.B=(4.-3)(i.i)+(-3.-2)(k.k)+(-5.2)(j.j)

A.B=-12+6-10

A.B=-16

2)Vektörel Çarpım: (x) işareti ile çarpılır. Aynı birimlerin çarpımı 0'dır. Farklı birimlerin çarpımı aşağıdaki gibi bulunur.

ixj=k vej.i=-k (saat yönünde gidiyorsa + ters yönde gidiyorsa - olur işareti)

k.i=j ve i.k=-j

j.k=i ve k.j=-k

Örnek:

A=4i-3j-2k (Axi+Ayj+Azk)

B=-2i-3j+5k (Bxi+Byj+Bzk)

ise A.B=? ve AxB=?

Çözüm:

A.B=(4.-2)(i.i)+(-3.-3)(j.j)+(-2.5)(k.k)

A.B=-8+9-10

A.B=-9

Birinci yol

AxB=(Ay.Bz-Az.By)i+(Az.Bx-Ax.Bz)j+(Ax.By-Ay.Bx)k

AxB=(-3.5-(-2.-3))i+(-2.-2-4.5)j+(4.-3-(-3.-2))k

AxB=(-15-6)i+(4-20)j+(-12-6)k

AxB=-21i-16j-18k

İkinci yol

İ    j   k      ifadeleri ilk satıra yazılır.

4  -3  -2    A vektörü yazılır

-2  -3  5   B vektörü yazılır sonra ilk iki satır tekrar alt alta yazılır.

i     j    k

4  -3  -2

Sol taraftan başlayarak üçlü çapraz çarpılır ve toplanır sonra sağ taraf aynı şekilde çarpılır ve toplanır. Sonra sağ taraftan sol taraf çıkarılır çözüm bulunur.

Sol taraf:

k.(-3).(-2)

(-2).(-3).i

5.j.4 bunların hepsini toplarsak

6k+6i+20j olur.

6i+20j+6k sıralı yazılmış hali

Sağ taraf:

i.(-3).5

4.(-3).k

(-2).j.(-2) bunların hepsini toplarsak

-15i+(-12)k+4j

-15i+4j-12k sıralı yazılmış hali

Sağ-Sol=-15i+4j-12k-(6i+20j+6k)

=-15i+4j-12k-6i-20j-6k

=-21i-16j-18k

Üçüncü yol

A=4i-3j-2k

B=-2i-3j-+5k

Alttaki işaretler eklenir en üste (+ ile başlanır)

+   -   +

i     j   k

4  -3 -2

-2 -3  5

İlk önce i'yi kapatırız.  Sonra kalan satır ve sütunları çarpıp çıkarırız.

i(-3.5-(-2.-3)) birincinin sonucunu buluruz.

i(-15-6)

i(-21)

-21i

+   -   +

i     j   k

4  -3 -2

-2 -3  5

j'nin işareti - bunu koymayı unutma, sonra j'yi kapatırız. Kalan sütun ve satırları çarpıp çıkarırız.

-j(4.5-(-2.-2)) ikincinin sonucunu buluruz.

-j(20-4)

-j(16)

-16j

+   -   +

i     j   k

4  -3 -2

-2 -3  5

k'nın işareti + şimdi k'yı kapatırız.  Kalan satır ve sütunları çarpıp çıkartırız.

k(4.-3-(-3.-2)) üçüncünün sonucunu buluruz.

k(-12-6)

k(-18)

-18k

Tüm bulduklarımızı toplarız. Sonucu buluruz.

AxB=-21i-16j-18k